Prvním klubem Honzi Drašnara byla Admira Praha. V roce 2015 se přesunul do pražské Dukly, kde hrál další tři sezony. Poté už nastupoval pouze ve slávistických barvách za žákovské i dorostenecké kategorie. S týmem U17 vyhrál v sezoně 2024/25 titul 1.Celostátní ligy mladšího dorostu. Během ročníku 2025/26 nastupoval za kategorii U19.
