Rodák ze Strakonic s fotbalem začínal v Českých Budějovicích, následně prošel mládežnickou akademií Sparty. V sedmnácti letech si Staňka vyhlédl anglický Everton, v tradičním klubu Premier League chytal za juniorku, v únoru 2016 nakoukl i na lavičku A-týmu. Měsíc strávil na hostování v Hyde United a v září 2016 se vrátil do tehdy druholigových Českých Budějovic.
Po návratu na jih Čech nejprve zamířil na hostování do třetiligové Třebíče, od sezony 2017/18 začal pravidelně chytat za Dynamo a o rok později pomohl deseti čistými konty v osmnácti zápasech Budějovicím k prvnímu místu a návratu do nejvyšší soutěže. Po podzimní části nejvyšší soutěže zamířil v lednu 2020 do Viktorie Plzeň.
Ve Viktorii začal jako trojka, první příležitost dostal ke konci sezony, kdy vychytal čisté konto na půdě Baníku Ostrava. Sezonu 2020/21 odstartoval na lavičce, ale využil šanci, která přišla ve 14. kole proti Slavii, a na jaře 2021 chyběl mezi třemi tyčemi jen dvakrát. Od nové sezony se stal ústřední postavou na cestě Viktorie za mistrovským titulem, v osmadvaceti utkáních vychytal hned čtrnáct nul.
A na skvělé výkony ze závěru zlaté sezony navázal i v letní kvalifikaci o Ligu mistrů, kdy v šesti zápasech inkasoval jen čtyřikrát a pomohl tak Plzni k postupu do skupiny milionářské soutěže. Celkem za čtyři roky v Plzni udržel 43 čistých kont ve 123 utkáních.
Jindřich Staněk také pravidelně reprezentuje, prošel všemi mládežnickými kategoriemi a 5. září 2021 po zranění Tomáše Vaclíka debutoval za národní tým v zápase proti Belgii.
Za červenobílé stihl na jaře 2024 odchytat dvanáct ligových duelů, ve kterých udržel šest čistých kont. Skvělými výkony si udržel post reprezentační jedničky i na EURU 2024, bohužel dobrou formu překazilo zranění ramene, které si přivodil při utkání s Tureckem.
Po dlouhé rekonvalescenci začal jarní část jako jednička. Ve třinácti duelech si připsal deset čistých kont.
